Павшинская пойма «Микрорайон Красногорье»

Zeos писал(а):

Приветствую возвращение темы!

Вот еще задача:
раскопал журнал 'Наука и жизнь' 1989 г. (расцвет горбачевской перестройки - как мы были наивны! И в каком г. оказались через 20 лет), нашел там интересную задачу:

Шах вызвал к себе двух визирей и сказал им: "О мудрейшие! Я загадал два числа, каждое из которых больше 1. Одному из вас я сообщу сумму (назовем этого визиря 'С'), а второму - произведение (назовем его 'визирь П'). Кроме того, визирь П узнает, что сумма меньше 60. Если вы настолько мудры, как о вас говорят, то назовите загаданные числа." Визири задумались, первым заговорил визирь П:

П: Увы, мой шах, я не могу дать ответ.
С: Я знал это!
П: Тогда я знаю ответ.
С: Тогда и я знаю ответ.

Задача - естественно, какие числа загадал шах. У меня однозначного ответа не получилось , так что приглашаю поделиться соображениями.

Спойлер

2 и 3

Zeos писал(а):

maximus:

это не решение - многомудрый визирь П может легко разложить произведение на два простых сомножителя, а он сначала сдался (см. первую строчку диалога). Так что все пары простых чисел меньших 60 можно отбросить с самого начала.

Спойлер

С узнал сумму равную 5
5 как сумму можно разложить только на 2+3 (если мы говорим о числах строго больше 1)
П узнал произведение равное 6
6 можно разложить на множители стргого больше 1 двумя способами 2*3 и .... тупанул...больше низзя

признаю был не прав

Спойлер

Очевидный ход решения для визиря П. (которому известно произведение загаданных чисел) -
попытаться разложить произведение П и скомбинировать из сомножителей два числа, удовлетворяющих
условиям задачи. Очевидно, сомножителей оказалось более двух - иначе бы он тут же с радостью
доложил шаху о решении задачи.
Визирь С. (тот, кто знает сумму) как-то сумел предугадать неудачу своего напарника, зная только
сумму С. Мне кажется, дело в четности/нечетности числа С. Нечетная сумма может быть образована
только сложением четного (представим его как 2*p1) и нечетного чисел (p2), в этом случае их
произведение заведомо содержит по меньшей мере 3 сомножителя:

П = 2*p1*p2

и проблемы визиря П. весьма вероятны. Четное С. может быть образовано сложением двух простых
чисел, и тогда решение для визиря П. возможно сразу, злорадствовать нечему.

Итак, предположим, что С - нечетное число. Тогда (3-я строка диалога Визирь П.:'Я знаю эти
числа!'), видимо, говорит о том, что визирь П. сделал такой же вывод из возгласа С. и это
помогло ему решить задачу - т.е. из нескольких комбинаций он выбрал единственную, дающую
нечетную сумму слагаемых.
Это означает, что первоначально из имеющихся сомножителей он мог скомбинировать ровно одно
'нечетное' решение и несколько (одно или более) 'четных'. Отсюда вытекает дополнительный
критерий 'правильности' решения - поскольку возможны и четные решения типа (2*p3) и (2*p4), то в
разложении П. присутствуют не одна, а две двойки:

П = 2*2*p3*p4

в 'нечетном' решении все двойки собраны с одной стороны - (2*2*p5) и (p6), p6 не содержит двоек,
т.е. оно из загаданных чисел кратно 4.

Итого, с учетом дополнительного условия задачу (с точки зрения визиря П.) можно сформулировать
так:
1. число П образовано произведением пары чисел, меньших 60
2. из сомножителей П можно образовать несколько подмножеств, перемножение членов каждого
подмножества дает пару чисел. Из полученных пар отбрасываем те, что в сумме превышают 60 и для
оставшихся должно выполняться:
- есть строго одна 'нечетная' пара
- есть одна и или несколько 'четных' пар

Применение мощной вычислительной техники даёт шестьдесят одно такое число П (см. список ниже).

Вернемся теперь к визирю С. Видимо, он пришел к тем же самым выводам, но чтобы С. смог получить
единственное решение на основания известной суммы С из полученного списка нужно вычеркнуть
строчки, для которых сумма нечетного решения одинакова, например:

11=3+8 (П=24)
и
11=4+7 (П=28)

После такого прореживания оcтаётся только 7 решений:

загаданы 3 и 4; C=7, П=12
загаданы 4 и 5; C=9, П=20
загаданы 5 и 8; C=13, П=40
загаданы 4 и 13; C=17, П=52
загаданы 8 и 17; C=25, П=136
загаданы 13 и 16; C=29, П=208
загаданы 16 и 17; C=33, П=272

Однозначного решения не получается. Где я ошибся?


Num of pairs=348
*** (odds=1, evens>0) ***
Mul=12 odds=1 evens=1 * 2 2 3 * Sum: 7=3+4
Mul=20 odds=1 evens=1 * 2 2 5 * Sum: 9=4+5
Mul=24 odds=1 evens=2 * 2 2 2 3 * Sum: 11=3+8
Mul=28 odds=1 evens=1 * 2 2 7 * Sum: 11=4+7
Mul=40 odds=1 evens=2 * 2 2 2 5 * Sum: 13=5+8
Mul=44 odds=1 evens=1 * 2 2 11 * Sum: 15=4+11
Mul=48 odds=1 evens=3 * 2 2 2 2 3 * Sum: 19=3+16
Mul=52 odds=1 evens=1 * 2 2 13 * Sum: 17=4+13
Mul=56 odds=1 evens=2 * 2 2 2 7 * Sum: 15=7+8
Mul=68 odds=1 evens=1 * 2 2 17 * Sum: 21=4+17
Mul=76 odds=1 evens=1 * 2 2 19 * Sum: 23=4+19
Mul=80 odds=1 evens=3 * 2 2 2 2 5 * Sum: 21=5+16
Mul=88 odds=1 evens=2 * 2 2 2 11 * Sum: 19=8+11
Mul=92 odds=1 evens=1 * 2 2 23 * Sum: 27=4+23
Mul=96 odds=1 evens=4 * 2 2 2 2 2 3 * Sum: 35=3+32
Mul=104 odds=1 evens=2 * 2 2 2 13 * Sum: 21=8+13
Mul=112 odds=1 evens=3 * 2 2 2 2 7 * Sum: 23=7+16
Mul=136 odds=1 evens=1 * 2 2 2 17 * Sum: 25=8+17
Mul=152 odds=1 evens=1 * 2 2 2 19 * Sum: 27=8+19
Mul=160 odds=1 evens=3 * 2 2 2 2 2 5 * Sum: 37=5+32
Mul=176 odds=1 evens=2 * 2 2 2 2 11 * Sum: 27=11+16
Mul=184 odds=1 evens=1 * 2 2 2 23 * Sum: 31=8+23
Mul=208 odds=1 evens=2 * 2 2 2 2 13 * Sum: 29=13+16
Mul=228 odds=1 evens=1 * 2 2 3 19 * Sum: 31=12+19
Mul=276 odds=1 evens=1 * 2 2 3 23 * Sum: 35=12+23
Mul=288 odds=1 evens=4 * 2 2 2 2 2 3 3 * Sum: 41=9+32
Mul=224 odds=1 evens=2 * 2 2 2 2 2 7 * Sum: 39=7+32
Mul=272 odds=1 evens=1 * 2 2 2 2 17 * Sum: 33=16+17
Mul=304 odds=1 evens=1 * 2 2 2 2 19 * Sum: 35=16+19
Mul=352 odds=1 evens=2 * 2 2 2 2 2 11 * Sum: 43=11+32
Mul=368 odds=1 evens=1 * 2 2 2 2 23 * Sum: 39=16+23
Mul=392 odds=1 evens=1 * 2 2 2 7 7 * Sum: 57=8+49
Mul=400 odds=1 evens=3 * 2 2 2 2 5 5 * Sum: 41=16+25
Mul=340 odds=1 evens=1 * 2 2 5 17 * Sum: 37=17+20
Mul=380 odds=1 evens=1 * 2 2 5 19 * Sum: 39=19+20
Mul=440 odds=1 evens=2 * 2 2 2 5 11 * Sum: 51=11+40
Mul=460 odds=1 evens=1 * 2 2 5 23 * Sum: 43=20+23
Mul=480 odds=1 evens=4 * 2 2 2 2 2 3 5 * Sum: 47=15+32
Mul=484 odds=1 evens=1 * 2 2 11 11 * Sum: 55=11+44
Mul=456 odds=1 evens=1 * 2 2 2 3 19 * Sum: 43=19+24
Mul=504 odds=1 evens=3 * 2 2 2 3 3 7 * Sum: 45=21+24
Mul=552 odds=1 evens=1 * 2 2 2 3 23 * Sum: 47=23+24
Mul=416 odds=1 evens=1 * 2 2 2 2 2 13 * Sum: 45=13+32
Mul=520 odds=1 evens=1 * 2 2 2 5 13 * Sum: 53=13+40
Mul=572 odds=1 evens=1 * 2 2 11 13 * Sum: 57=13+44
Mul=476 odds=1 evens=1 * 2 2 7 17 * Sum: 45=17+28
Mul=532 odds=1 evens=1 * 2 2 7 19 * Sum: 47=19+28
Mul=560 odds=1 evens=2 * 2 2 2 2 5 7 * Sum: 51=16+35
Mul=588 odds=1 evens=1 * 2 2 3 7 7 * Sum: 49=21+28
Mul=544 odds=1 evens=1 * 2 2 2 2 2 17 * Sum: 49=17+32
Mul=608 odds=1 evens=1 * 2 2 2 2 2 19 * Sum: 51=19+32
Mul=624 odds=1 evens=1 * 2 2 2 2 3 13 * Sum: 55=16+39
Mul=672 odds=1 evens=2 * 2 2 2 2 2 3 7 * Sum: 53=21+32
Mul=612 odds=1 evens=1 * 2 2 3 3 17 * Sum: 53=17+36
Mul=680 odds=1 evens=1 * 2 2 2 5 17 * Sum: 57=17+40
Mul=648 odds=1 evens=1 * 2 2 2 3 3 3 3 * Sum: 51=24+27
Mul=684 odds=1 evens=1 * 2 2 3 3 19 * Sum: 55=19+36
Mul=760 odds=1 evens=1 * 2 2 2 5 19 * Sum: 59=19+40
Mul=780 odds=1 evens=1 * 2 2 3 5 13 * Sum: 59=20+39
Mul=792 odds=1 evens=1 * 2 2 2 3 3 11 * Sum: 57=24+33
Mul=840 odds=1 evens=1 * 2 2 2 3 5 7 * Sum: 59=24+35
Total solutions count=61

*** (odds=1, evens>0) (unique sum) ***
Mul=12 odds=1 evens=1 * 2 2 3 * Sum: 7=3+4
Mul=20 odds=1 evens=1 * 2 2 5 * Sum: 9=4+5
Mul=40 odds=1 evens=2 * 2 2 2 5 * Sum: 13=5+8
Mul=52 odds=1 evens=1 * 2 2 13 * Sum: 17=4+13
Mul=136 odds=1 evens=1 * 2 2 2 17 * Sum: 25=8+17
Mul=208 odds=1 evens=2 * 2 2 2 2 13 * Sum: 29=13+16
Mul=272 odds=1 evens=1 * 2 2 2 2 17 * Sum: 33=16+17
Total solutions count=7

Zeos писал(а):

Вот моё решение задачи визиря, однозначного ответа нет. В чем я не прав?

Zeos писал(а):

Вот моё решение задачи визиря, однозначного ответа нет. В чем я не прав?

Однозначного решения не получается. Где я ошибся?

Спойлер

Убийца - садовник
Все довольно просто: если визирь С знал, что визирь П не узнает числа, значит все возможные пары слагаемых содержат хотя бы одно составное число. Из этих пар, этому условию удовлетворяет только 17 => 4 и 13.
Задачка явно решается проще, но лень думать

Zeos писал(а):

Fabler:

не понял ограничения по составному числу - кажддое из оставшихся решений содержит такое число (кратное 4), так что опять одного решения нет.

Zeos писал(а):

Да, всё правильно - двух простых слагаемых быть не может. Но ведь и нет таких пар в моём решении:

3+4
4+5
5+8
4+13
8+17
13+16
16+17

в каждой паре одно из слагаемых - составное. Единственное решение выбрать не получается!

ilyamr писал(а):

Если не ошибаюсь, то не только для 17, но и для 11, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53, 57

Главврач писал(а):

так вот еще простенькая
3 возвели в степень 1189, какая цЫфра будет на конце полученного числа?

Спойлер

3